Question

【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：(a＞b＞0)经过点(﹣2,0)和,椭圆C上三点A,M,B与原点O构成一个平行四边形AMBO.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点B是椭圆C左顶点,求点M的坐标；

（3）若A,M,B,O四点共圆,求直线AB的斜率.

Answer 1

【答案】（1）＋y2＝1；（2）M(－1,±)；（3）±

【解析】

(1)将点和代入椭圆＋＝1求解即可.

(2)根据平行四边形AMBO可知AM∥BO,且AM＝BO＝2.再设点M(x0,y0),则A(x0＋2,y0),代入椭圆C求解即可.

(3) 因为A,M,B,O四点共圆,所以平行四边形AMBO是矩形,且OA⊥OB,再联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理代入·＝x1x2＋y1y2＝0求解即可.

（1）因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点和,

所以a＝2,＋＝1,解得b2＝1,所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）因为B为左顶点,所以B (－2,0).

因为四边形AMBO为平行四边形,所以AM∥BO,且AM＝BO＝2.

设点M(x0,y0),则A(x0＋2,y0).

因为点M,A在椭圆C上,所以解得所以M(－1,±).

（3）因为直线AB的斜率存在,所以设直线AB的方程为y＝kx＋m,A(x1,y1),B(x2,y2).

由消去y,得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,

则有x1＋x2＝,x1x2＝.

因为平行四边形AMBO,所以＝＋＝(x1＋x2,y1＋y2).

因为x1＋x2＝,所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝k·＋2m＝,所以M(,).

因为点M在椭圆C上,所以将点M的坐标代入椭圆C的方程,化得4m2＝4k2＋1.①

因为A,M,B,O四点共圆,所以平行四边形AMBO是矩形,且OA⊥OB,

所以·＝x1x2＋y1y2＝0.

因为y1y2＝(kx1＋m)(kx1＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝,

所以x1x2＋y1y2＝＋＝0,化得5m2＝4k2＋4.②

由①②解得k2＝,m2＝3,此时△＞0,因此k＝±.

所以所求直线AB的斜率为±.