【题目】已知函数,且x=0是f(x)的极值点.
(1)求f(x)的最小值;
(2)是否存在实数b,使得关于x的不等式ex<bx+f(x)在(0,+∞)上恒成立?若存在,求出b的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)1(2)存在;b的范围为[1,+∞)
【解析】
(1)由已知结合极值存在条件可求m,然后结合导数单调性及最值的关系即可求解;
(2)由已知不等式代入整理可得,可考虑构造函数,结合导数与单调性的关系对b进行分类讨论可求.
解:(1),
由x=0是f(x)的极值点可得10,即m=1,经检验m=1符合题意,
,
设g(x)=ex(x+1)﹣1,则g′(x)=ex(x+2)>0在x>﹣1时恒成立,
故g(x)在(﹣1,+∞)上单调递增且g(0)=0,
所以,当x>0时,g(x)>0即f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
当﹣1<x<0时,g(x)<0即f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
故当x=0时,f(x)取得最小值f(0)=1;
(2)由ex<bx+f(x)在(0,+∞)上恒成立可得,
设,则需要,
又,
(i)若b≥1,则x>0时,0,h(x)单调递减,
所以h(x)<h(0)=0,符合题意,
(ii)若b≤0,则x>0时,0,h(x)单调递增,h(x)>h(0)=0,不符合题意,
(iii)若0<b<1,令,得x,
当x时,h′(x)>0,h(x)单调递增,此时h(x)>h(0)=0,不满足题意,
综上,b的范围[1,+∞).
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【题目】如图,定义:以椭圆中心为圆心,长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N,当点N在点M的下方时,称点N为点M的“下辅助点”.已知椭圆E:上的点的下辅助点为(1,﹣1).
(1)求椭圆E的方程;
(2)若△OMN的面积等于,求下辅助点N的坐标;
(3)已知直线l:x﹣my﹣t=0与椭圆E交于不同的A,B两点,若椭圆E上存在点P,满足,求直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)经过点(﹣2,0)和,椭圆C上三点A,M,B与原点O构成一个平行四边形AMBO.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点B是椭圆C左顶点,求点M的坐标;
(3)若A,M,B,O四点共圆,求直线AB的斜率.
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【题目】已知函数.
(1)求函数的极值.
(2),若不等式在上恒成立,求的最大值.
(3)是否存在实数,使得函数在上的值域为?如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO.它指的是,在自然情况下(没有外力介入,同时所有人都没有免疫力),一个感染到某种传染病的人,会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是:确认病例增长率系列间隔,其中系列间隔是指在一个传播链中,两例连续病例的间隔时间(单位:天).根据统计,确认病例的平均增长率为,两例连续病例的间隔时间的平均数为天,根据以上RO数据计算,若甲得这种传染病,则轮传播后由甲引起的得病的总人数约为( )
A.B.C.D.
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【题目】新型冠状病毒蔓延以来,世界各国都在研制疫苗,某专家认为,某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用,假如规定每天早上7:00和晚上7:00各服药一次,每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%,该药在人体内含量超过1000毫克,就将产生副作用,若人长期服用这种药,则这种药__________(填“会”或者“不会”)对人体产生副作用.
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【题目】分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,科赫曲线是比较典型的分形图形,1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种曲线,因此将这种曲线称为科赫曲线.其生成方法是:(I)将正三角形(图(1))的每边三等分,以每边三等分后的中间的那一条线段为一边,向形外作等边三角形,并将这“中间一段”去掉,得到图(2);(II)将图(2)的每边三等分,重复上述的作图方法,得到图(3);(Ⅲ)再按上述方法继续做下去……,设图(1)中的等边三角形的边长为1,并且分别将图(1)、图(2)、图(3)、…、图(n)、…中的图形依次记作,,,…,,…,设的周长为,则为( )
A.B.C.D.
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【题目】已知函数,给出以下四个命题:
①的图象关于轴对称;
②在上是减函数;
③是周期函数;
④在上恰有两个零点.
其中真命题的序号是______.(请写出所有真命题的序号)
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【题目】在直角坐标系中,曲线,曲线(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程;
(2)射线的极坐标方程为,若分别与交于异于极点的两点,求的最大值.
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