Question

【题目】已知椭圆的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为，为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆相交于两点，记面积的最大值为，证明：

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）先建立直线的方程。然后与椭圆方程联立，再借助坐标之间的关系建立关于三角形面积的函数关系，通过计算进行推证：

（Ⅰ）解：由题意，得椭圆的半焦距，右焦点，上顶点，所以直线的斜率，解得，由，得，所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）证明：设直线的方程为，其中， ，由方程组得 所以

，于是有 ，所以

，因为原点到直线的距离 ，

所以

当时， ，所以当时的最大值，验证知成立；

当时，所以当时的最大值

验证知成立；所以