Question

【题目】已知过点的直线与抛物线交于不同的两点，点，连接的直线与抛物线的另一交点分别为，如图所示．

（Ⅰ）若，求直线的斜率；

（Ⅱ）试判断直线的斜率是否为定值，如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，定值为2

【解析】

（Ⅰ）首先根据条件设出直线的方程，然后联立抛物线方程，从而利用韦达定理求得直线的斜率；

（Ⅱ）首先分别联立直线与抛物线的方程、直线与抛物线的方程，然后利用韦达定理求出，的坐标，从而求得直线的斜率．

（Ⅰ）设点，直线的斜率为，则其方程为，

与抛物线联立，得，

所以依题意，代入，得解得．

（Ⅱ）直线的斜率是定值．

将直线与抛物线联立，得，

所以且．

又因为直线的斜率为，其方程为，

与抛物线联立，得，

故，即，

所以点的坐标为，同理，

所以，

即直线的斜率是定值．