Question

【题目】如图1，多边形ABCDEF，四边形ABCD为等腰梯形，，，，四边形ADEF为直角梯形，，，以AD为折痕把等腰梯形ABCD折起，使得平面平面ADEF，如图2．

（Ⅰ）证明：平面CDE；

（Ⅱ）求直线BE与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）过做，垂足为，根据已知求出，进而证明，根据面面垂直性质定理可得平面ABCD，即，最后由面面垂直判定定理即可得结果；

（Ⅱ）以AD的中点O为原点，以OA所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，求出平面EAC的法向量，直线BE与平面EAC所成角的正弦值为即可得结果.

（Ⅰ）过做，垂足为，在等腰梯形ABCD中，

，

，

因为平面平面ADEF，平面平面，

，，所以，又平面ADEF，

所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，

又，所以平面CDE．

（Ⅱ）分别取的中点，连，

则，所以，

因为平面平面ADEF，平面平面，

所以平面，

如图，以O为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，．

设平面EAC的法向量为，

则，即，

令，得．

故直线BE与平面EAC所成角的正弦值为

．