Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥平面ABCD，E在棱PB上．

（Ⅰ）求证：AC⊥PD；

（Ⅱ）若VP﹣ACE，求证：PD∥平面AEC．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

【解析】

（I）过作，判断出四边形为则方程，由此证得，结合证得平面，从而证得.

（II）利用题目所给体积求得到平面的距离，连接交于，连接，通过证明，证得，由此证得平面.

（Ⅰ）过A作AF⊥DC于F，∵AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴四边形ABCF为正方形，则CF＝DF＝AF＝1，

∴∠DAC＝90°，得AC⊥DA，又PA⊥底面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PA，

又PA，AD平面PAD，PA∩AD＝A，∴AC⊥平面PAD，又PD平面PAD，∴AC⊥PD；

（Ⅱ）设E到平面ABCD的距离为h，则VP﹣ACE，得h．

又PA＝2，则PB：EB＝PA：h＝3：1．∵BC＝1，CD＝2，∴DB，连接DB交AC于O，连接OE，

∵△AOB∽△COD，∴DO：OB＝2：1，得DB：OB＝3：1，

∴PB：EB＝DB：OB，则PD∥OE．又OE平面AEC，PD平面AEC，∴PD∥平面AEC．