Question

【题目】已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=.

(1)求p的值;

(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）抛物线定义知|，则 ，求得x0=2p，代入抛物线方程， ；
（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，

当直线l经过点Q（3，-1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率 ，直线BM的斜率 ， ．

当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x-3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得 ，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数．

(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p,

又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.

(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.

当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-),

则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.

当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则直线AM的斜率kAM===,同理直线BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=.

设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3).

联立消去x,得ky2-y-3k-1=0,

所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.

综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.