【题目】如图,一块长方形区域,,,在边的中点处有一个可转动的探照灯,其照射角始终为,设,探照灯照射在长方形内部区域的面积为.
(1)求关于的函数关系式;
(2)当时,求的最大值.
【答案】(1)S(2)
【解析】
(1)根据条件讨论α的范围,结合三角形的面积公式进行求解即可.
(2)利用两角和差的三角公式进行化简,结合基本不等式的性质进行转化求解即可.
(1),
则OA=1,即AE=tanα,
∠HOFα,
HF=tan(α),
则△AOE,△HOF得面积分别为tanα,tan(α),
则阴影部分的面积S=1,,
当∈[,)时,E在BH上,F在线段CH上,如图②,
EH,FH,则EF,
则S(),
即,;
同理当,;
即S.
(2)当时,S=12(1+tanα)
∵0≤tanα≤1,即1≤1+tanα≤2,
则1+tanα22,
当且仅当1+tanα,即1+tanα时取等号,
即,即S的最大值为2
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【题目】某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元,每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元,市场对这种电器的年需求量为5百台.已知这种电器的销售收入R与销售量t的关系可用抛物线表示,如图.
(注:销售量的单位:百台,销售收入与纯收益的单位:万元,生产成本=固定成本+可变成本,精确到1台和0.01万元)
(1)写出销售收入R与销售量t之间的函数关系式;
(2)若销售收入减去生产成本为纯收益,写出纯收益与销售量的函数关系式,并求销售量是多少时,纯收益最大.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数图象在点处的切线方程;
(2)当时,讨论函数的单调性
(3)是否存在实数,对任意的 有恒成立?若存在,求出的取值范围:若不存在,说明理由
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【题目】以直角坐标系的原点为极点,以轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线的参数方程为(为参数,),曲线的极坐标方程为.
(1)若,求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线相交于,两点,当变化时,求的最小值.
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【题目】△ABC中,角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,且a(cosB+cosC)=b+c.
(1)求证:A;
(2)若△ABC外接圆半径为1,求△ABC周长的取值范围.
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【题目】已知倾斜角为的直线经过抛物线:的焦点,与抛物线相交于、两点,且.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、,线段和的中点分别为、.如果直线与的倾斜角互余,求证:直线经过一定点.
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【题目】已知函数,下列关于函数的单调性说法正确的是( )
A.函数在上不具有单调性
B.当时,在上递减
C.若的单调递减区间是,则a的值为
D.若在区间上是减函数,则a的取值范围是
E.在区间上不可能是减函数
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