【题目】已知函数(
).
(1)若在
处取到极值,求
的值;
(2)若在
上恒成立,求
的取值范围;
(3)求证:当时,
.
【答案】(1) ;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据极值的概念得到,可得到参数值;(2)转化为函数最值问题,研究函数的单调性,分
时,
时,
,三种情况讨论单调性,使得最小值大于等于0即可;(3)由(1)知令
,当
时,
,当
时,
,给x赋值:2,3,4,5等,最终证得结果.
试题解析:(1),
∵在
处取到极值,
∴,即
,∴
,
经检验,时,
在
处取到极小值.
(2),令
(
),
1°当时,
,
在
上单调递减,又
,
∴时,
,不满足
在
上恒成立.
2°当时,二次函数
开口向上,对称轴为
,过
.
①当,即
时,
在
上恒成立,∴
,从而
在
上单调递增,
又,∴
时,
成立,满足
在
上恒成立;
②当,即
时,存在
,使
时,
,
单调递减,
时,
,
单调递增,
∴,又
,∴
,故不满足题意.
3°当时,二次函数
开口向下,对称轴为
,
在
单调递减,
,
∴,
在
上单调递减,又
,∴
时,
,故不满足题意;综上所述,
.
(3)证明:由(1)知令,当
时,
(当且仅当
时取“
”),
∴当时
.即当
2,3,4,
,
,有
.
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【题目】命题p:x∈R,ax2﹣2ax+1>0,命题q:指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)为减函数,则P是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
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【题目】(12分)
在平面直角坐标系中,点到点
的距离之和为4.
(1)试求点A的M的方程.
(2)若斜率为的直线l与轨迹M交于C,D两点,
为轨迹M上不同于C,D的一点,记直线PC的斜率为
,直线PD的斜率为
,试问
是否为定值.若是,求出该定值;若不同,请说出理由.
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【题目】如图,一块长方形区域,
,
,在边
的中点
处有一个可转动的探照灯,其照射角
始终为
,设
,探照灯照射在长方形
内部区域的面积为
.
(1)求关于
的函数关系式;
(2)当时,求
的最大值.
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【题目】以平面直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,直线
的参数方程为
(
是参数),圆
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求直线的普通方程与圆
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设曲线与直线
的交于
,
两点,若
点的直角坐标为
,求
的值.
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【题目】为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况,以及重要商品库存变化的动向,中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查,制定了中国仓储指数.如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况.
根据该折线图,下列结论正确的是
A. 2016年各月的仓储指数最大值是在3月份
B. 2017年1月至12月的仓储指数的中位数为54%
C. 2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大
D. 2017年11月的仓储指数较上月有所回落,显示出仓储业务活动仍然较为活跃,经济运行稳中向好
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【题目】定义在R上的函数满足
,且当
时,
,对任意
R,均有
.
(1)求证:;
(2)求证:对任意R,恒有
;
(3)求证:是R上的增函数;
(4)若,求
的取值范围.
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