【题目】定义在R上的函数满足,且当时,,对任意R,均有.
(1)求证:;
(2)求证:对任意R,恒有;
(3)求证:是R上的增函数;
(4)若,求的取值范围.
【答案】(1)见解析; (2)见解析; (3)见解析; (4) .
【解析】
(1)利用赋值法,令a=b=0,求解f (0)的值即可;
(2)分类讨论x < 0和两种情况证明题中的不等式即可;
(3)由函数的性质可证得当时,f (x2) > f (x1),则f(x)是R上的增函数.
(4)由题意结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得x的取值范围是(0,3).
(1)证明:令a=b=0,得f (0)=f 2 (0),又因为f (0) ≠ 0,所以f (0)=1.
(2)当x < 0时,-x >0,
所以f (0) =f (x) f (-x) =1,即,
又因为时,,所以对任意x∈R,恒有f (x) >0.
(3)证明:设,则,所以f (x2)=f [(x2-x1)+x1]=f (x2-x1) f (x1).
因为x2-x1>0,所以f (x2-x1)>1,又f (x1) > 0,
则f (x2-x1) f (x1) > f (x1),即f (x2) > f (x1),所以f(x)是R上的增函数.
(4)由f (x)·f (2x-x2) >1, f (0)=1得f (3x-x2) > f (0),
又由f (x) 为增函数,所以3x-x2 > 0 0 < x < 3.故x的取值范围是(0,3).
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【题目】已知AB是⊙O的直径,直线AF交⊙O于F(不与B重合),直线EC与⊙O相切于C,交AB于E,连接AC,且∠OAC=∠CAF,求证:
(1)AF⊥EC;
(2)若AE=5,AF=2,求AC.
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【题目】已知椭圆: 的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切. 、是椭圆的右顶点与上顶点,直线与椭圆相交于、两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当四边形面积取最大值时,求的值.
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【题目】设函数f(x)=ex(ax2﹣x﹣1)(a∈R).
(1)若函数f(x)在R上单调递减,求a的取值范围
(2)当a>0时,求f(|sinx|)的最小值.
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【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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【题目】在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,R表示的外接圆半径.
(Ⅰ)如图,在以O圆心、半径为2的O中,BC和BA是O的弦,其中,求弦AB的长;
(Ⅱ)在中,若是钝角,求证:;
(Ⅲ)给定三个正实数a、b、R,其中,问:a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在存在的情况下,用a、b、R表示c.
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【题目】设等差数列{an}的前n项的和为Sn , 已知a1=1, =12.
(1)求{an}的通项公式an;
(2)bn= ,bn的前n项和Tn , 求证;Tn< .
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【题目】已知函数f(x)的图像可以由y=cos2x的图像先纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍,再横坐标不变纵坐标伸长到原来的2倍,最后向右平移个单位而得到.
⑴求f(x)的解析式与最小正周期;
⑵求f(x)在x∈(0,π)上的值域与单调性.
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【题目】已知函数f(x)=loga (其中a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明;
(3)若x∈时,函数f(x)的值域是[0,1],求实数a的值.
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