【题目】在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,R表示
的外接圆半径.
(Ⅰ)如图,在以O圆心、半径为2的O中,BC和BA是
O的弦,其中
,求弦AB的长;
(Ⅱ)在中,若
是钝角,求证:
;
(Ⅲ)给定三个正实数a、b、R,其中,问:a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的
不存在、存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在
存在的情况下,用a、b、R表示c.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据正弦定理,即可求得AB的长度。
(Ⅱ)由余弦定理,结合角C为钝角,即可得到,再由正弦定理即可得到
。
(Ⅲ) 对a进行分类讨论,在不同情况下结合正弦定理与余弦定理确定a、b、c的关系,进而判断三角形的个数。
(Ⅰ)解法一:连接OB,OC,则,所以
,所以
.在
中,
,由正弦定理得
,
解得
解法二:的外接圆半径为2,在
中,
,
∴
.
(Ⅱ)解法一:因为是钝角,所以
,即
,又因为
,所以
,又因为
,所以
所以
,则
解法二:由正弦定理得由于
是钝角,
都是锐角,得
,
∵,∴
,即
.
(Ⅲ)①当或
时,所求的
不存在.
②当且
时,
,所求的
只存在一个,且
.
③当且
时,
,且A、B都是锐角,由
,
A、B唯一确定.因此,所求的只存在一个,且
.
④时,
总是锐角,
可以是钝角也可以是锐角,因此,所求的
存在两个.由
,得
当时,
,
当时,
,
.
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【题目】已知函数.
(1)若函数在定义域内为增函数,求实数
的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若,
,
,求
的极小值;
(3)设,
.若函数
存在两个零点
,且满足
,问:函数
在
处的切线能否平行于
轴?若能,求出该切线方程,若不能,请说明理由.
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【题目】在一次趣味校园运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就座,其中高二代表队有6人.
(1)求n的值;
(2)把在前排就座的高二代表队6人分别记为a,b,c,d,e,f,现随机从中抽取2人上台抽奖.求a和b至少有一人上台抽奖的概率;
(3)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x,y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中奖的概率.
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【题目】定义在R上的函数满足
,且当
时,
,对任意
R,均有
.
(1)求证:;
(2)求证:对任意R,恒有
;
(3)求证:是R上的增函数;
(4)若,求
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0},对定义域内的任意,
都有f(
·
)=f(
)+f(
),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.
(1)证明:(x)是偶函数;
(2)证明:(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式(2
-1)<2.
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【题目】设函数,其中
是实数.
(l)若 ,求函数
的单调区间;
(2)当时,若
为函数
图像上一点,且直线
与
相切于点
,其中
为坐标原点,求
的值;
(3) 设定义在上的函数
在点
处的切线方程为
,若
在定义域
内恒成立,则称函数
具有某种性质
,简称“
函数”.当
时,试问函数
是否为“
函数”?若是,请求出此时切点
的横坐标;若不是,清说明理由.
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【题目】设函数f(x)=lnx﹣ ax2﹣bx,若x=1是f(x)的极大值点,则a的取值范围为( )
A.(﹣1,0)
B.(﹣1,+∞)
C.(0,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)
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