【题目】设等差数列{an}的前n项的和为Sn ， 已知a1=1， 
=12．
（1）求{an}的通项公式an；
（2）bn= 
，bn的前n项和Tn ， 求证；Tn＜ 
．
【答案】
（1）解：设等差数列{an}的公差为d，则S2=2a1+d，S3=3a1+3d，S4=4a1+6d，
∵ 
=12，
∴3a1+3d=12，即3+3d=12，
解得d=3，
∴an=1+3（n﹣1）=3n﹣2
（2）解：bn= 
= 
（ 
），
∴Tn= （1﹣ 
）+ （ ﹣ 
）+ （ ﹣ 
）+…+ （ ）
= （1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ）
= （1﹣ 
）
= 
∴Tn= ＜ 
=
【解析】（1）利用前n项和公式列方程计算公差d，从而得出an；（2）bn= = （ ），使用裂项法求出Tn即可得出结论．
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．
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【题目】函数y=f(x)在
上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则（ ）
A. f(1)<f(2.5)<f(3.5) B. f(3.5)<f(1)<f(2.5)
C. f(3.5)<f(2.5)<f(1) D. f(2.5)<f(1)<f(3.5)
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【题目】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有一个白球；至少有一个红球 B. 至少有一个白球；红、黑球各一个
C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少有一个白球；都是白球
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【题目】定义在R上的函数
满足
，且当
时，
，对任意
R，均有
．
（1）求证：
；
（2）求证：对任意
R，恒有
；
（3）求证：是R上的增函数；
（4）若
，求
的取值范围．
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【题目】设全集U=R，集合 
，P={x|﹣1≤x≤4}，则（UM）∩P等于（ ）
A.{x|﹣4≤x≤﹣2}
B.{x|﹣1≤x≤3}
C.{x|3≤x≤4}
D.{x|3＜x≤4}
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【题目】设函数
，其中
是实数．
(l）若
，求函数
的单调区间；
(2）当
时，若
为函数
图像上一点，且直线
与
相切于点
，其中
为坐标原点，求
的值；
(3) 设定义在
上的函数
在点
处的切线方程为
，若
在定义域
内恒成立，则称函数
具有某种性质
，简称“
函数”．当
时，试问函数
是否为“
函数”？若是，请求出此时切点
的横坐标；若不是，清说明理由．
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【题目】在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为
的圆柱，其轴截面如图所示．设两个圆柱体积之和为
．
(1)求
的表达式，并写出
的取值范围；
(2）求两个圆柱体积之和
的最大值．
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【题目】在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上(含80)的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值，并计算所抽取样本的平均值
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)填写下面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 5 | ||
不获奖 | |||
合计 | 200 |
附表及公式： 
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图，D、E分别是△ABC的边BC的三等分点，设 
=m， 
=n，∠BAC= 
． 
（1）用 
、 
分别表示 
， 
；
（2）若 =15，| 
|=3 
，求△ABC的面积．
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