Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是梯形，，，底面点是的中点．

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)若且与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（I）根据已知条件得到，，由此证得平面.从而证得,结合，证得平面，进而证得.（II）作出与平面所成的角，通过线面角的大小计算出有关的边长，作出二面角的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值.

（Ⅰ）证明：因为平面，平面，所以．

又由是梯形，，，知，

而，平面，平面，所以平面．

因为平面，所以．

又，点是的中点，所以．

因为，平面，平面，所以平面．

因为平面，所以．

（Ⅱ）解：如图所示，过作于，连接，

因为平面，平面，所以，

则平面，于是平面平面，它们的交线是．

过作于，则平面，

即在平面上的射影是，

所以与平面所成的角是．由题意，．

在直角三角形中，，于是．

在直角三角形中，，所以．

过作于，连接，

由三垂线定理，得，所以为二面角的平面角，

在直角三角形中，，．

在直角三角形中，，

所以二面角的正弦值为．