Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数图象在点处的切线方程；

（2）当时，讨论函数的单调性

（3）是否存在实数，对任意的 有恒成立？若存在，求出的取值范围:若不存在，说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率为，最后根据点斜式求切线方程，（2）先求导数，解得导函数零点，根据两零点大小关系分类讨论导函数符号，最后根据导函数符号确定函数单调性，（3）先调整不等式为，再构造函数，转化为在上单调递增，即恒成立，最后利用变量分离法转化为对应函数最值问题最小值，利用二次函数性质求最值可得结果.

详解：（1）当时，，，所以所求的切线方程为，即．

（2）①当，即时，，在上单调递增．

②当，即时，因为或时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减；

③当，即时，因为或时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减．

（3）假设存在这样的实数，满足条件，不妨设，由知，令，则函数在上单调递增．所以，即在上恒成立，所以，故存在这样的实，满足题意，其取值范围为．