【题目】如图,在三棱锥中,
,
,O为AC的中点.
(1)证明:平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且,求点C到平面POM的距离.
(3)若点M在棱BC上,且二面角为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【解析】
(1)由条件, O为AC的中点可得
,同理
,求出
的三边长,利用勾股定理可得
,从而可证.
(2)由(1)可知,平面平面ABC,作
,垂足为H,所以
平面POM.所以
的长度为点C到平面POM的距离,然后通过解三角形解出
即可.
(3)以O为坐标原点,,
,
的分别为x,
轴,建立空间直角坐标系
,平面PAC的一个法向量
,设
,求出平面PAM的法向量为
,由
,可求出
的值,从而可求出PC与平面PAM所成角的正弦值.
证明:因为,O为AC的中点,所以
,且
.
连接OB.因为,
所以为等腰直角三角形,且
,
.
在中,
,
由知,
.
由,
且
,知
平面ABC.
(2)解:作,垂足为H.
又由(1)可得,所以
平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知,
,
.
在中,
,
所以,则
,
即
又,
所以.
所以点C到平面POM的距离为.
(3)解:如图,以O为坐标原点,,
,
的分别为x,
轴,建立空间直角坐标系
,
由已知得,
,
,
,
,
.
取平面PAC的一个法向量.
在平面内直线
的平面直角坐标方程为:
,
设(
),则
.
,
设平面PAM的法向量为.
由 ,得
可取,
所以.
由已知可得,
所以,解得
(舍去),
,
所以.
又,所以
.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.
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【题目】设是函数
定义域的一个子集,若存在
,使得
成立,则称
是
的一个“准不动点”,也称
在区间
上存在准不动点,已知
,
.
(1)若,求函数
的准不动点;
(2)若函数在区间
上存在准不动点,求实数
的取值范围.
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【题目】设Tn为数列{an}的前n项的积,即Tn=a1a2…an.
(1)若Tn=n2,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}满足Tn=(1﹣an)(n∈N*),证明数列
为等差数列,并求{an}的通项公式;
(3)数列{an}共有100项,且满足以下条件:
①;
②(1≤k≤99,k∈N*).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)试问符合条件的数列共有多少个?为什么?
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【题目】如图,过抛物线焦点
的直线与抛物线交于
(其中
点在
轴的上方)两点.
(1)若线段的长为3,求
到直线
的距离;
(2)证明:为钝角三角形;
(3)已知且
,求三角形
的面积
的取值范围.
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【题目】在半径为的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上,一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动,经过其余三点后返回,则经过的最短路程是________
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【题目】设a∈R,函数f(x)=x|x-a|-a.
(1) 若f(x)为奇函数,求a的值;
(2) 若对任意的x∈[2,3],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;
(3) 当a>4时,求函数y=f(f(x)+a)零点的个数.
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【题目】某公园草坪上有一扇形小径(如图),扇形半径为,中心角为
,甲由扇形中心
出发沿
以每秒2米的速度向
快走,同时乙从
出发,沿扇形弧以每秒
米的速度向
慢跑,记
秒时甲、乙两人所在位置分别为
,
,通过计算
,判断下列说法是否正确:
(1)当时,函数
取最小值;
(2)函数在区间
上是增函数;
(3)若最小,则
;
(4)在
上至少有两个零点;
其中正确的判断序号是______(把你认为正确的判断序号都填上)
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【题目】如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(I)证明:CE∥平面PAB;
(II)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值
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【题目】在平面直角坐标系中,定义为两点
、
的“切比雪夫距离”,又设点
及
上任意一点
,称
的最小值为点
到直线
的“切比雪夫距离”,记作
,给出四个命题,正确的是________.
①对任意三点、
、
,都有
;
② 到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形;
③ 已知点和直线
,则
;
④ 定点、
,动点
满足
,则点
的轨迹与直线
(
为常数)有且仅有
个公共点.
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