Question

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，C₁C⊥底面ABC，AC＝BC＝CC₁＝2，AC⊥BC，点D是AB的中点.

（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求四面体B₁C₁CD的体积.

Answer 1

（1）证明过程详见试题解析；（2）三棱锥D－B₁C₁C的体积为.

试题分析：（1）连接BC₁，设BC₁与B₁C的交点为E，连接DE，证得DE∥AC₁；由线面平行的判定定理即可证明AC₁∥平面CDB₁；（2）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，可以证明DF是三棱锥D－CC₁B₁的高，再由锥体体积公式即可求解.
试题解析：
（1）证明：连结BC₁，设BC₁与B₁C的交点为E，连结DE.

∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁，CC₁⊥底面ABC，CC₁＝BC＝2，
∴四边形BCC₁B₁为正方形.   ∴E为BC₁中点.
∵D是AB的中点，  ∴DE∥AC₁.
∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁.              4分
（2）在平面ABC内作DF⊥BC于点F，
∵CC₁⊥平面ACB , DF平面ACB，
∴CC₁⊥DF.
∵BCCC₁＝C
∴DF⊥平面BCC₁B₁.
∴DF是三棱锥D－CC₁B₁的高，
∵AC＝BC＝CC₁＝2
∴  DF＝1.
∴四面体B₁C₁CD的体积为.                     9分