Question

已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A₁A₂，P为双曲线上一点（不同于A₁，A₂），直线A₁P、A₂P分别与直线l：交于M、N两点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）求证：•为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先设双曲线方程为：，根据题意可得关于a、b的方程组，解可得答案；
（Ⅱ）根据题意，易得A₁、A₂、F的坐标，设P（x，y）、M（），易得向量，，又由共线向量的坐标运算，可得M的坐标，进而可得N的坐标，
由此可得：与的坐标，即可得；结合双曲线的方程，代换可得证明．
解答：解：（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为：，
则
∴所求双曲线方程为

（Ⅱ）A₁（-3，0）、A₂（3，0）、F（5，0），设P（x，y），M（），
，，
∵A₁、P、M三点共线，
∴∴即，
同理得，
，，
则
∵，
∴；
∴，即（定值）
点评：本题考查双曲线的有关性质，（Ⅱ）的证明运用了坐标法，结合向量的数量积的运算，是典型的解析几何方法，需要加强训练．