Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，-2）．
（1）求抛物线C的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线OA与l的距离等于

5

5

？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线C的焦点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与抛物线C相交于点M，N，l₂与抛物线C相交于点D，E，求

MD

•

NE

的最小值．

Answer 1

分析：（1）把点（1，-2）代入抛物线方程即可得出；
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，与抛物线方程联立，由于直线l与抛物线C有公共点，可得△=4+8t≥0，解得t的取值范围．利用点到直线的距离可得：直线OA与l的距离d=

5

5

，可得

|t|

5

=

1

5

，解得t．
（3）由题意可知：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线l₁的斜率为k≠0，则l₁的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立可得根与系数的关系；由于l₁⊥l₂，可得直线l₂的斜率为-

1

k

，方程为y=-

1

k

(x-1)，设D（x₃，y₃），B（x₄，y₄）．与抛物线方程可得根与系数的关系．再利用向量的数量积运算和基本不等式即可得出．

解答：解：（1）将（1，-2）代入y²=2px，得（-2）²=2p×1，解得p=2．
故所求抛物线C的方程为y²=4x，其准线方程为x=-1．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，
由

y=-2x+t y2=4x

得y²+2y-2t=0．
∵直线l与抛物线C有公共点，
∴△=4+8t≥0，解得t≥-

1

2

，
由直线OA与l的距离d=

5

5

，可得

|t|

5

=

1

5

，解得t=±1．
∵-1∉[-

1

2

，+∞)，1∈[-

1

2

，+∞)，
∴符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0．
（3）由题意可知：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
设直线l₁的斜率为k≠0，则l₁的方程为y=k（x-1），联立

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1．
∵l₁⊥l₂，∴直线l₂的斜率为-

1

k

，方程为y=-

1

k

(x-1)，设D（x₃，y₃），B（x₄，y₄）．
联立

y=- 1 k (x-1) y2=4x

，化为x²-（2+4k²）x+1=0，
∴x3+x4=2+4k2，x₃x₄=1．
∴

MD

•

NE

=(

MF

+

FD

)•(

NF

+

FE

)
=

MF

•

NF

+

MF

•

FE

+

FD

•

NF

+

FD

•

FE

=|

MF

| |

FN

|+|

EF

| |

FD

|
=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）
=x₁x₂+x₁+x₂+x₃x₄+x₃+x₄+2
=1+2+

4

k2

+1+2+4k²+2
=8+4(k2+

1

k2

)≥8+4×2×

k2• 1 k2

=16，当且仅当k=±1时取等号．
∴当k=±1时，

MD

•

NE

的最小值为16．

点评：熟练掌握直线与抛物线的相交问题转化为与抛物线方程联立得到一元二次方程、根与系数的关系、弦长公式数量积计算公式等是解题的关键．