Question

已知f（x）=-sin²x+sinx+a，若1≤f（x）≤

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4

对一切x∈R恒成立，则实数a的范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用

分析：设sinx=t，把问题转换为关于t的一元二次函数，根据t的范围和二次函数的性质求得函数的最大值和最小值，进而与已知的最大值和最小值比较即可求得a的范围．

解答： 解：设sinx=t，-1≤t≤1
则f（x）=f（t）=-t²+t+a=-（t-

1

2

）²+a+

1

4

，
当t=

1

2

函数取得最大值，t=-1时，函数有最小值，
∴f（

1

2

）=a+

1

4

≤

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4

，①
f（-1）=a-2≥1，②
①②联立求得3≤a≤4．
故答案为：3≤a≤4．

点评：本题主要考查了二次函数的性质．考查了学生的函数思想，转化与化归的思想的运用．