Question

已知函数y=f(x)=(

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)x2-2x-3
（1）求其单调区间
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）令t=x²-2x-3=（x-1）²-4，则y=(

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)t，故函数y的单调性和函数t的单调性相反，利用二次函数的性质求得t的单调性可得y的单调性．
（2）根据t=（x-1）²-4≥-4，可得 y=(

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)t≤(

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)-4，且y＞0，从而求得函数的值域．

解答：解：（1）令t=x²-2x-3=（x-1）²-4，则y=(

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)t，故函数y的单调增区间，即t的减区间；
函数y的单调减区间，即t的增区间．
利用二次函数的性质可得y的增区间为（-∞，1），y的减区间为[1，+∞）．
（2）由于t=（x-1）²-4≥-4，∴y=(

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)t≤(

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)-4=81，且y＞0，
故函数的值域为（0，81]．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，指数函数的单调性和值域，属于中档题．