Question

（2012•泸州模拟）设函数f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0且a≠1)．
（I）求f(m)+f(n)-f(

m+n

1+mn

)的值；
（II）若关于x的方程loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在x∈[0，1）上有实数解，求实数t的取值范围．
（III）设函数g（x）是函数f（x）的反函数，求证：当a＞1时，

n

k=1

g(a-k)＜

lna

2(a-1)

(n∈N*)．．

Answer 1

分析：（I）利用对数的运算性质化简f（m）+f（n）的结果等于f(

m+n

1+mn

)，从而得到f(m)+f(n)-f(

m+n

1+mn

)的值．
（II）把条件等价转化为t=（x+1）（2x²-5x+5）在x∈[0，1）上有实数解，利用导数判断t在x∈[0，1）上是减函数，得t（1）＜t≤t（0），由此解得实数t的取值范围．
（III）先求出函数g（x），设 G（x）=g（x）-

lna

2

x，（x＞0），利用导数判断G（x） 在[0，+∞）上单调递减，得到g（x）＜

lna

2

x，由此放缩要证得不等式成立．

解答：解：（I）∵函数f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0且a≠1)，∴f(m)+f(n)-f(

m+n

1+mn

)=loga

1+m

1-m

+loga

1+n

1-n

-f(

m+n

1+mn

) 
=loga(

1+m

1-m

•

1+n

1-n

)-f(

m+n

1+mn

)=loga(

1+m+n+mn

1-m-n+mn

)-f(

m+n

1+mn

)=loga

1+ m+n 1+mn

1- m+n 1+mn

-f(

m+n

1+mn

)=f(

m+n

1+mn

)-f(

m+n

1+mn

)=0．
（II）∵关于x的方程loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在x∈[0，1）上有实数解，
∴loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=loga

1+x

1-x

，
∴

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=

1+x

1-x

 在x∈[0，1）上有实数解，∴t=（x+1）（2x²-5x+5）在x∈[0，1）上有实数解．
∵t′=6x（x-1），x∈[0，1）时，t′＜0，t=（x+1）（2x²-5x+5）在x∈[0，1）上是减函数，
∴t（1）＜t≤t（0），解得 4＜t≤5．
∴实数t的取值范围为（4，5]．
（III）函数g（x）是函数f（x）的反函数，f（x）的定义域为（-1，1），求得g（x）=f^-1（x）=

ax-1

ax+1

 （x∈R）．
设 G（x）=g（x）-

lna

2

x，（x＞0），则  G′（x）=g′（x）-

lna

2

=

-(ax-1)2

(ax+1)2

• lna≤0．
∵a＞1，∴G（x） 在[0，+∞）上单调递减，当x＞0时，G（x）＜G（0），即 g（x）＜

lna

2

x．
∴a＞1时，

n

k=1

g(a-k)＜

lna

2

 （

1

a

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

）=

lna

2

•

1- 1 an

a-1

＜

lna

2

•

1

a-1

=

lna

2(a-1)

．

即

n

k=1

g(a-k)＜

lna

2(a-1)

，（n∈N^*）成立．

点评：本题主要考查对数的运算性质的应用，求反函数，以及用放缩法证明不等式，属于难题．