Question

已知函数f（x）=

4(x-a)

x2+4

．
（1）当x∈[-2，2]时，求使f（x）＜a恒成立的a的取值范围；
（2）若方程x²-2ax-1=0的两根为α，β，证明：函数f（x）在[α，β]上是单调函数．

Answer 1

分析：（1）由f（x）＜a得

4(x-a)

x2+4

＜a，分离出参数a后转化为求函数的最值即可，由g（x）的符号变化规律可知只需求g（x）在x∈（0，2]的最大值，利用单调性可求；
（2）定义法：设α≤x₁＜x₂≤β，则x12-2ax1-1≤0， x22-2ax2-1≤0，两式相加可得(x12+x22)-2a(x1+x2)-2≤0，  ∴x1x2-a(x1+x2)-1＜0，利用作差法可证明f（x₂）＞f（x₁）；

解答：解：（1）由f（x）＜a得

4(x-a)

x2+4

＜a，即4x-4a＜ax²+4a，
∴a＞

4x

x2+8

在x∈[-2，2]时恒成立．      
设g(x)=

4x

x2+8

，
由于x=0时，g（x）=0；x∈[-2，0）时，g（x）＜0；x∈（0，2]时，g（x）＞0，
故求函数g(x)=

4x

x2+8

在x∈[-2，2]上的最大值，只需求g（x）在x∈（0，2]的最大值，
由g(x)=

4x

x2+8

=

4

x+ 8 x

，可证明y=x+

8

x

在x∈（0，2]上是减函数，
当x=2时y=x+

8

x

取得最小值，g（x）取得最大值为

2

3

，
∴a＞

2

3

．           
（2）设α≤x₁＜x₂≤β，则x12-2ax1-1≤0， x22-2ax2-1≤0，
∴(x12+x22)-2a(x1+x2)-2≤0，  ∴x1x2-a(x1+x2)-1＜0，
则f(x2)-f(x1)=

4(x2-a)

x22+4

-

4(x1-a)

x12+4

=

4(x2-x1)[a(x1+x2)-x1x2+4]

(x22+4)(x22+4)

，
又a（x₁+x₂）-x₁x₂+4＞a（x₁+x₂）-x₁x₂+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．

点评：本题考查函数恒成立问题、单调性的判断，考查转化思想，单调性的证明应严格论证，方法有定义法、导数法．