Question

15．已知函数f（x）=$\frac{kx-xlnx+1}{e^{x}}$（k∈R）在点（1，f（1））处的切线为2x+my-4=0（m∈R）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设g（x）=（x+1）f（x），求证：g（x）＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，切点，由切线方程，可得m=e，求得f（1），即可得到k=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=$\frac{x-xlnx+1}{{e}^{x}}$，则g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$（x-xlnx+1），令m（x）=e^x-（x+1），求得导数，求得单调性可得0＜$\frac{x+1}{{e}^{x}}$＜1，令n（x）=x-xlnx+1，求得导数，求得单调区间可得最大值，可得x-xlnx+1≤2，由不等式的性质，即可得证．

解答 （Ⅰ）解：函数f（x）=$\frac{kx-xlnx+1}{e^{x}}$（k∈R）的导数为f′（x）=$\frac{（x-1）lnx-kx+k-2}{{e}^{x}}$，
在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=$\frac{-2}{e}$，
由切线方程2x+my-4=0，可得-$\frac{2}{m}$=$\frac{-2}{e}$，
解得m=e，有f（1）=$\frac{k+1}{e}$，
又f（1）=$\frac{2}{e}$，即有k=1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f（x）=$\frac{x-xlnx+1}{{e}^{x}}$，则g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$（x-xlnx+1），
令m（x）=e^x-（x+1），x＞0，m′（x）=e^x-1＞0，
m（x）＞m（0）=0，即有0＜$\frac{x+1}{{e}^{x}}$＜1，
令n（x）=x-xlnx+1，n′（x）=-lnx，
令n′（x）＞0可得0＜x＜1，令n′（x）＜0可得x＞1，
即有x=1处n（x）≤n（1）=2，
则g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$（x-xlnx+1）＜x-xlnx+1≤2，
故g（x）＜2成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查不等式的恒成立问题，注意构造函数和运用导数判断单调性求最值，属于中档题．