Question

6．已知函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c．
（1）若函数f（x）在x=1及x=2时取到极值，求实数a和b的值；
（2）若函数f（x）在x=1时取到极小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意有，f′（1）=0，f′（2）=0．求解即可，（2）由f′（1）=0，求出b=-2a-2，结合函数f（x）在x=1时取到极小值，得到-a-1＜1，从而求出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=6x²+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f′（1）=0，f′（2）=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$，解得：a=-3，b=4．
（2）f′（x）=6x²+6ax+3b，
∵函数f（x）在x=1时取到极小值，
∴f′（1）=6+6a+3b=0，
∴b=-2a-2，
∴f′（x）=6x²+6ax-6a-6=6（x-1）（x+a+1），
∴-a-1＜1，解得：a＞-2．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的最值问题．考查导数的应用，是一道中档题．