Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx-a{x}^{2}，x＞0}\\{{x}^{2}+ax，x＜0}\end{array}\right.$有且仅有三个极值点，则a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 需要分类讨论，当a=0时，当a＜0时，当a＞0时三种情况，其中当a＞0，若x＞0，则f（x）=xlnx-ax²，求导，构造函数g（x）=lnx+1-2ax，求出函数g（x）的最大值，要让（x）=xlnx-ax²有2个极值点，须让g（x）=f'（x）有两个零点，即只须让g（x）_max＞0，解得即可．

解答 解：①当a=0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x＞0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
此时f（x）在（-∞，0）上不存在极值点，在（0，+∞）上有且只有一个极值点，显然不成立，
②当a＜0时，
若x＜0，则f（x）=x²+ax，对称轴$x=-\frac{a}{2}＞0$，在（-∞，0）上不存在极值点，
若x＞0，则f（x）=xlnx-ax²，f'（x）=lnx+1-2ax，
令g（x）=lnx+1-2ax，（x＞0），则$g'（x）=\frac{1}{x}-2a＞0$，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）有且仅有1个零，即f'（x）有且仅有一个零点，即f（x）只有一个极值点，
显然不成立，
③当a＞0时
若x＜0，则f（x）=x²+ax，对称轴x=-$\frac{a}{2}$＜0，在（-∞，0）存在1个极值点
若x＞0，则f（x）=xlnx-ax²，
∴f′（x）=lnx+1-2ax，
令g（x）=lnx+1-2ax，（x＞0），
则g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a=-$\frac{2ax-1}{x}$
由g'（x）＞0可得$x＜\frac{1}{2a}$，由g′（x）＜0可得x＞$\frac{1}{2a}$，
∴g（x）在$（0，\frac{1}{2a}）$上单调递增，在（$\frac{1}{2a}$，0）上单调递减，
则$g{（x）_{max}}=g（\frac{1}{2a}）=ln\frac{1}{2a}+1-1=-ln2a$，
要让（x）=xlnx-ax²有2个极值点，须让g（x）=f'（x）有两个零点，即只须让g（x）_max＞0，
即g（x）_max=-ln2a＞0，
解得得$0＜a＜\frac{1}{2}$
综上所述a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$）．
故答案为：$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了分段函数的问题，以及导数和函数的单调性最值的关系，培养了学生的分类讨论思想化归思想，属于中档题．