Question

13．（1）已知各项不为0的等差数列{a_n}满足2a₂-a₇²+2a₁₂=0，数列{b_n}是等比数列，且b₇=a₇，Tn表示数列{b_n}的前n项积，求T₁₃．
（2）不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设各项不为0的等差数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，由等差数列的通项和等比数列的性质，可得所求值；
（2）对二次项系数讨论，m²-2m-3=0，和m²-2m-3＜0，且判别式△＜0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）设各项不为0的等差数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
由2a₂-a₇²+2a₁₂=0，可得2（a₁+d）-（a₁+6d）²+2（a₁+11d）=0，
化简可得a₁+6d=4，即a₇=4．
即有b₇=4，
又T₁₃=b₁•b₂•b₃…b₁₃=b₁₃•b₁₂•b₁₁…b₁，
即有T₁₃²=（b₁b₁₃）•（b₂b₁₂）•（b₃b₁₁）…（b₁₃b₁）
=b₇²•b₇²•b₇²…b₇²=16¹³，
解得T₁₃=4¹³；
（2）由题意可得，m²-2m-3=0，解得m=3或-1，
当m=3时，不等式即为-1＜0，恒成立；
当m=-1时，不等式即为4x-1＜0不恒成立；
当m²-2m-3＜0，且判别式△＜0，即有（m-3）²+4（m²-2m-3）＜0，
解得-1＜m＜3且-$\frac{1}{5}$＜m＜3，
解得-$\frac{1}{5}$＜m＜3．
即有m的范围是（-$\frac{1}{5}$，3]．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和性质，同时考查二次不等式恒成立，注意讨论二次项系数的符号和判别式的符号，考查运算能力，属于中档题和易错题．