Question

【题目】如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．

（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？
（2）若tanθ= ，当a变化时，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，作CD⊥AF于D，则CD=EF，

设∠ACD=α，∠BCD=β，CD=x，则θ=α﹣β，

在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα= ，tanβ= ，

则tanθ=tan（α﹣β）= = （x＞0），

令u= ，则ux2﹣2x+1.25u=0，

∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，

即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤ ，即（tanθ）max= ，

∵正切函数y=tanx在（0， ）上是增函数，

∴视角θ同时取得最大值，

此时，x= = ，

∴观察者离墙 米远时，视角θ最大

（2）解：由（1）可知，tanθ= = = ，

即x2﹣4x+4=﹣a2+6a﹣4，

∴（x﹣2）2=﹣（a﹣3）2+5，

∵1≤a≤2，

∴1≤（x﹣2）2≤4，

化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，

又∵x＞1，

∴3≤x≤4．

【解析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．