【题目】如图, 是边长为2的正方形的边的中点,将与分别沿、折起,使得点与点重合,记为点,得到三棱锥.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求点到平面的距离.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
【解析】试题分析: (Ⅰ)由, ,可得平面,又在平面内,即可证得面面垂直;(Ⅱ)解:设点到平面的距离为,根据三棱锥等体积可得
,根据体积公式代入即可求得.
试题解析:(Ⅰ)证明:∵,∴, .
∵交于点, , 在平面内,∴平面,
∵在平面内,∴平面平面.
(Ⅱ)解:设点到平面的距离为,
依题意可知,三角形是底边长为2,高为2的三角形,
所以其面积为.
由(Ⅰ)知平面,易知是边长为2的等边三角形,其面积为, ,
所以,
∵,∴,∴.
点睛:本题考查面面垂直的判定以及等体积法求点线距,属于中档题目. 两平面垂直的判定有两种方法:(1)两个平面所成的二面角是直角;(2)一个平面经过另一平面的垂线.掌握基本的判定和性质定理外还应理解线线、线面、面面垂直的转化思想,逐步学会综合运用数学知识分析解决问题的能力.
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【题目】如图,墙上有一壁画,最高点A离地面4米,最低点B离地面2米.观察者从距离墙x(x>1)米,离地面高a(1≤a≤2)米的C处观赏该壁画,设观赏视角∠ACB=θ.
(1)若a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角θ最大?
(2)若tanθ= ,当a变化时,求x的取值范围.
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【题目】在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形边长为x厘米,矩形纸板的两边AB,BC的长分别为a厘米和b厘米,其中a≥b.
(1)当a=90时,求纸盒侧面积的最大值;
(2)试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.
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【题目】学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A、B两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A种菜的,下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有30%改选A菜.用an , bn分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数,若a1=300,则a20=( )
A.260
B.280
C.300
D.320
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【题目】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点.
(1)求线段的中点的轨迹的方程;
(2)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
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