Question

设n∈N^*，（2x+1）ⁿ的展开式各项系数之和为a_n，（3x+1）ⁿ展开式的二项式系数之和为b_n，则

lim

n→+∞

2an+3bn

an+1bn+1

=

2

3

．

Answer 1

分析：令x=1可得a_n=3ⁿ再利用二项式定理的性质可得b_n=2ⁿ然后代入

lim

n→∞

2an+3bn

an+1bn+1

再分子分母同时除以3ⁿ再利用极限的四则运算即可得解．

解答：解：令x=1由二项式定理可得a_n=3ⁿ，（3x+1）ⁿ展开式的二项式系数之和b_n=2ⁿ
∴

lim

n→∞

2an+3bn

an+1bn+1

=

lim

n→∞

2•3n+3•2n

3n+1+2n+1

=

lim

n→∞

2+3•( 2 3 )n

3+2•( 2 3 )n

=

2+3 lim n→∞ ( 2 3 )n

3+2 lim n→∞ ( 2 3 )n

=

2

3

故答案为

2

3

点评：本题主要考查了利用二项式定理的性质求极限．解题的关键是要分清楚各项系数和和二项式系数和然后代入极限式中再利用极限的有关知识求解．