Question

（2012•福建）（1）选修4-2：矩阵与变换
设曲线2x²+2xy+y²=1在矩阵A=

a 0 b 1

（a＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x²+y²=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值．
（Ⅱ）求A²的逆矩阵．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定点在矩阵A=

a 0 b 1

（a＞0）对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵A；
（Ⅱ）先计算A²的值，求出行列式的值，即可得到A²的逆矩阵．

解答：解：（Ⅰ）设曲线2x²+2xy+y²=1上的点（x，y）在矩阵A=（

a 0 b 1

）（a＞0）对应的变换作用下得到点（x′，y′）
则（

a 0 b 1

）

x y

=

x′ y′

，∴

x′=ax y′=bx+y

∵x′²+y′²=1
∴（ax）²+（bx+y）²=1
∴（a²+b²）x²+2bxy+y²=1
∵2x²+2xy+y²=1
∴a²+b²=2，2b=2
∴a=1，b=1
∴A=（

1 0 1 1

）
（Ⅱ）A²=（

1 0 1 1

）（

1 0 1 1

）=（

1 0 2 1

），

.

1 0 2 1

.

=1
∴A²的逆矩阵为

1 0 -2 1

点评：本题考查矩阵与变换，考查逆矩阵的求法，确定变换前后坐标之间的关系是解题的关键．