Question

（2012•福建）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（

2 3

3

，

π

2

），圆C的参数方程

x=2+2cosθ y=- 3 +2sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．

解答：解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（

2 3

3

，

π

2

），
所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，

2 3

3

），P为线段MN的中点（1，

3

3

），
直线OP的平面直角坐标方程y=

3

3

x；
（Ⅱ）圆C的参数方程

x=2+2cosθ y=- 3 +2sinθ

（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x-2）²+（y+

3

）²=4，
圆的圆心坐标为（2，-

3

），半径为2，
直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（

2 3

3

，

π

2

），
方程为y=

3π

4 3 -12

（x-2），即3πx+（12-4

3

）y-6π=0．
圆心到直线的距离为：

|6π- 3 (12-4 3 )-6π|

(3π)2+(12-4π)2

=

12( 3 -1)

(3π)2+(12-4π)2

＜

12( 3 -1)

3π

＜2，
所以，直线l与圆C相交．

点评：本题考查圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．