精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的不动点，若函数 $数学公式$ 有且仅有两个不动点0和2，且 $数学公式$ ．
（1）试求函数f（x）的表达式；
（2）已知各项不为0的数列{a_n}满足 $数学公式$ ，其中S_n表示数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式．

解：（1）设 $\text{[math]}$ =x?（1-b）x²+cx+a=0有两个不等实根0和2
?a=0且2b-c=2且b≠1
?f（x）= $\text{[math]}$ ．
由f（-2）＜- $\text{[math]}$ ?-1＜c＜3
?c=2，b=2?f（x）= $\text{[math]}$ （x≠1）．
（2）由已知 $\text{[math]}$ ，
可得2S_n=a_n-a_n²，
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，
两式相减得a_n=-a_n-1，或a_n-a_n-1=-1．
当n=1时，a₁=-1，
由a_n=-a_n-1?a₂=1不在定义域范围内应舍去，
故a_n-a_n-1=-1?a_n=-n．
分析：（1）利用函数f（x）=x的不动点，推出a，b，c的关系，通过 $\text{[math]}$ ，结合b，c∈N^*，求出b，c，得到函数的表达式；
（2）通过 $\text{[math]}$ ，推出2S_n=a_n-a_n²，通过S_n-S_n-1=a_n，求数列{a_n}的通项公式．
点评：本题是中档题，考查数列与函数的综合问题，数列通项公式的求法，函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，计算能力．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=（x-1）²；②f（x）=|2^x-1|；③f(x)=cos

x；④f（x）=e^x．其中存在“稳定区间”的函数有

（填出所有满足条件的函数序号）

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“科比函数”．若函数f（x）=k+

x+2

是“科比函数”，则实数k的取值范围是

．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．如果函数
f（x）=ax²+bx+1（a＞0）有两个相异的不动点x₁，x₂．
（1）若x₁＜1＜x₂，且f（x）的图象关于直线x=m对称，求证：

＜m＜1；
（2）若|x₁|＜2且|x₁-x₂|=2，求b的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

对于函数f（x），若f（x₀）=x₀，则称x₀为f（x）的：“不动点”；若f[f（x₀）]=x₀，则称x₀为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅；
（2）设函数f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根据（1）（2）中的结论判断A=B恒成立？若能，请给出证明，若不能，请举以反例．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的不动点．若函数f（x）=

x2+a

bx-c

（b，c∈N^*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-

．
（1）试求函数f（x）的单调区间，
（2）已知各项不为0的数列{a_n}满足4S_n•f（

）=1，其中S_n表示数列{a_n}的前n项和，求证：(1-

)an+1＜

＜(1-

)an
（3）在（2）的前题条件下，设b_n=-

，T_n表示数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学