Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y=3x+1．

       (Ⅰ)若函数f(x)在x=－2处有极值，求f(x)的表达式；

       (Ⅱ)若函数y=f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)=x³+2x²－4x+5（2）b≥0

解析:

(Ⅰ )由f(x)=x³+ax²+bx+c，求导数得f′(x)=3x²+2ax+b．

过y=f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为：y－f(1)=f′(1)(x－1)，

即y－(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x－1)．

而过y=f(x)上的点P(1，f(1)) 的切线方程为y=3x+1，

故即

∵f(x)在x=－2处有极值，故f′(－2)=0，∴－4a+b=－12，③

由①②③得a=2，b=－4，c=5．

∴f(x)=x³+2x²－4x+5．

(Ⅱ )解：y=f(x)在[－2,1]上单调递增，又f′(x)=3x²+2ax+b，由①知2a+b=0．

依题意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x²－bx+b≥0．

，可得b(x－1)≤3x²．

当x=1时，不等式显然成立．

当x≠1时，x－1<0，∴b≥．

∵=3(x－1)++6≤－6+6=0         ∴b≥0