Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．求a的取值范围．

Answer 1

解：设直线l的方程为y=x-a，
将y=x-a代入y²=2px，
得x²-2（a+p）x+a²=0，
设直线l与抛物线两个不同的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，
∵y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，
∴|AB|=
=
=，
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，
∴0＜≤2p，
解得-．
分析：设直线l的方程为y=x-a，将y=x-a代入y²=2px，得x²-2（a+p）x+a²=0，设直线l与抛物线两个不同的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），导出|AB|==，由|AB|≤2p．能求出a的取值范围．
点评：本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理、弦长公式、不等式等知识的灵活运用．