Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）设，由AC⊥BC得；由根与系数的关系得，矛盾，所以不存在；（2）求出过A，B，C三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.

试题解析：（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设, ,则满足，所以.

又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况.

（2）BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为.

由（1）可得，所以AB的中垂线方程为.

联立又，可得

所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径

故圆在y轴上截得的弦长为，即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.