Question

8．设k是一个正整数，（1+$\frac{x}{k}$）⁵的展开式中第三项的系数为$\frac{5}{8}$，记函数y=x²与y=kx的图象所围成的阴影部分为Ω，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）恰好落在阴影区域Ω内的概率为（　　）

• A． $\frac{17}{96}$
• B． $\frac{5}{32}$
• C． $\frac{7}{48}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 先利用二项式定理求出k值，再利用积分求阴影部分的面积，那积分的上下限由求方程组得到．然后利用几何概型的概率公式解答．

解答 解：根据题意得${C}_{5}^{2}•（\frac{1}{k}）^{2}$=$\frac{5}{8}$，解得：k=4
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=4x}\end{array}\right.$，得：x=0或4
∴阴影部分的面积为${∫}_{0}^{4}（4x-{x}^{2}）dx$=$（2{x}^{1}-\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{4}$=$\frac{32}{3}$，
任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点（x，y）对应 区域面积为4×16=64，
由几何概型概率求法得点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为$\frac{\frac{32}{3}}{64}$=$\frac{1}{6}$
故选：D．

点评 本题主要考查了定积分、二项式定理和几何概型的概率求法，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的，属于基础题．