Question

【题目】一个圆经过点，且和直线相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）圆心到定点与到定直线的距离相等，可知圆心的轨迹是以点为焦点的抛物线，求出方程即可；

（2）易知直线斜率存在且不为零，可设直线，设，，联立直线与抛物线方程，可得关于的一元二次方程，由轴是的角平分线，可得，整理可求得，再结合韦达定理，从而可求得的值，进而可求得直线过定点.

（1）由题意，圆心到定点与到定直线的距离相等，

根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹是以点为焦点的抛物线，其方程为.

（2）由题可知，直线与C有两个交点且不垂于于轴，

所以直线斜率存在且不为零，设直线，，，

联立，可得，

则，且，，

又，，轴是的角平分线，

所以，整理可得，

所以，即，此时满足，故：，

所以，直线PQ过定点.