Question

【题目】已知正三棱锥每个顶点都在球的球面上，球心在正三棱锥的内部．球的半径为，且．若过作球的截面，所得圆周长的最大值是，则该三棱锥的侧面积为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

依题意，该球的大圆的周长为8π，可得R＝4， BC=6．设底面BCD的中心为E，连接BE并延长交CD于F，求得BE，EF，在三角形OBE中应用勾股定理得到OE．可得三棱锥的高AE＝AO+OE．所以由勾股定理得到三棱锥的斜高AF ．求侧面积即可．

依题意，该球的大圆的周长为8π，所以2πR＝8π，得R＝4，

如图，正三棱锥A﹣BCD中，设底面三角形BCD的中心为E，则AE⊥平面BCD，

设F为CD的中点，连接BF，AF，则E是BF的三等分点，且AF是三棱锥的侧面ACD的斜高．

根据正三棱锥的对称性，球心O在AE上．

所以BC6．

则BE2．EF，

又因为三角形OBE为直角三角形，所以OE2．

所以三棱锥的高AE＝AO+OE＝4+2＝6．

所以三棱锥的斜高AF．

该三棱锥的侧面积为S侧＝339．

故填：．