Question

20．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）设M（x，y）是曲线C上的任一点，求$\sqrt{2}$x+2y最大值；
（3）过点N（2，0）的直线l与曲线C交于P，Q两点，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）直接消去参数即可得到普通方程；
（2）可以直接设M（$\sqrt{2}$cosθ，sinθ），然后，转化成三角函数的最值问题求解；
（3）点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设点N（2，0）的直线l的方程为：x=ky+2，然后，联立方程组，根据斜率关系建立等式求解斜率即可．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
∴$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
∴曲线C的普通方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
（2）设M（$\sqrt{2}$cosθ，sinθ），
∴$\sqrt{2}$x+2y=2（sinθ+cosθ）
=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），
∴$\sqrt{2}$x+2y最大值2$\sqrt{2}$；
（3）点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
设点N（2，0）的直线l的方程为：
x=ky+2，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
（k²+2）y²+4ky+2=0，
∴y₁y₂=$\frac{2}{{k}^{2}+2}$，y₁+y₂=-$\frac{4k}{{k}^{2}+2}$，
x₁x₂=（ky₁+2）（ky₂+2）
=k²y₁y₂+2k（y₁+y₂）+4
=$\frac{2{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$+4
=4-$\frac{6{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
∵OP⊥OQ（O为坐标原点），
∴x₁x₂-y₁y₂=0，
∴4-$\frac{6{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$-$\frac{2}{2+{k}^{2}}$=0，
∴k²=1，
∴k=±1，
∴直线l的方程x-y-2=0或x+y-2=0．

点评 本题重点考查了参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质、直线与椭圆的位置关系等知识，考查比较综合、理解换元法在求解最值中的应用，属于中档题．