Question

10．从圆C：（x-2）²+（y-3）²=1外-点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且PT=PO（O为原点）．
（1）求a，b满足的关系；
（2）求PT的最小值及此时P点坐标．

Answer 1

分析 （1）求出圆心坐标和半径，由两点的距离公式，由切线长等于P到O点的距离列式求得P的轨迹方程；
（2）由（1）得P得轨迹为直线，把|PT|的值转化为|PO|的值，由点到直线的距离公式求解原点到直线的距离，可得|PT|的最小值及P的坐标．

解答 解：（1）由（x-2）²+（y-3）²=1．
可得圆心C的坐标为（2，3），半径等于1．
由P（a，b），则|PT|²=（a-2）²+（b-3）²-1²=a²+b²-4a-6b+12，
|PO|²=a²+b²．
由|PT|=|PO|，得a²+b²-4a-6b+12=a²+b²．
整理得：2a+3b-6=0．
∴a，b满足的关系为：2a+3b-6=0；
（2）求|PT|的最小值，就是求|PO|的最小值．
在直线2a+3b-6=0上取一点到原点距离最小，
由“垂线段最短”得，直线OP垂直直线2a+3b-6=0，
由点到直线的距离公式得：
PT的最小值为：$\frac{|-6|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{2a+3b-6=0}\\{3a-2b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{12}{13}}\\{b=\frac{18}{13}}\end{array}\right.$．
即有P（$\frac{12}{13}$，$\frac{18}{13}$）．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．