Question

16．设a=$\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{\sqrt{2}cos（{x+\frac{π}{4}}）}$dx，则二项式${（a\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^6}$展开式中常数项是-160．

Answer 1

分析 由条件求定积分可得a=2，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式中常数项．

解答 解：a=$\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{\sqrt{2}cos（{x+\frac{π}{4}}）}$dx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=2，
则二项式${（a\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^6}$=${（2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{6}$  的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•2^6-r•x^3-r，
令3-r=0，可得r=3，可得二项式${（a\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^6}$展开式中常数项是-${C}_{6}^{3}$•2³=-160，
故答案为：-160．

点评 本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．