Question

8．已知命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R；命题q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅．若“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q分别为真时a的范围，从而求出p，q一真一假时a的范围．

解答 解：对于命题p：f（x）的定义域为R
即ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{a}{4}＜0}\end{array}\right.$，解得：a＞4，；
对于命题q：若A=∅，则△=（a+2）²-4＜0，解得：-4＜a＜0，
若A不是空集，设方程x²+（a+2）x+1=0的两根为x₁，x₂，
则由A∩B=∅，有$\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}≤0}\\{{{x}_{1}x}_{2}≥0}\end{array}\right.$⇒a≥0，
即命题q为真时有：a＞-4，
由题设有命题p和q中有且只有一个真命题，
所以：$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜4}\\{a≤-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤1或a≥4}\\{a＞-4}\end{array}\right.$，
解得：-4＜a≤4，
故所求a的取值范围是：-4＜a≤4．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查考查对数函数、二次函数的性质，是一道中档题．