Question

【题目】如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面，，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）设为线段上的动点，二面角的平面角的大小为30°，求线段的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析：（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）由已知可得四边形为平行四边形，连，与交于，则点为的中点，连，结合已知可证，即可证明结论；

（Ⅱ）由已知可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定的坐标，求出平面一个法向量坐标，按照空间向量线面角公式即可求解；

（Ⅲ）设，求出平面一个法向量的坐标，取平面的法向量为，按照空间向量的面面角公式，即可求出结论.

（Ⅰ）四边形是菱形，是矩形，

，

四边形为平行四边形，连，与交于，

则点为的中点，连，为的中点，

平面，平面，

平面；

（Ⅱ）四边形是菱形，，为的中点，

，又平面，

以为坐标原点，所在的直线分别为轴，

建立空间直角坐标系，，

，

，

设平面的法向量为，则
，即,

令，则，

平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角为，

则，

直线与平面所成角的正弦值为.

（Ⅲ）设，

，设平面的法向量为，

则，即，

令，则，

所以平面的一个法向量为，

又是平面的一个法向量，

所以，

解得或（舍去），

所以线段的长为.