Question

【题目】已知椭圆的右焦点，，，是椭圆上任意三点，，关于原点对称且满足.

（1）求椭圆的方程.

（2）若斜率为的直线与圆：相切，与椭圆相交于不同的两点、，求时，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由题意设出，，的坐标，代入椭圆方程作差可得a与b的关系，结合右焦点坐标解得a，b即可.

（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及根与系数的关系将用k与m表示，再利用直线与圆相切得到k，m的关系，代入表达式，得到关于k的不等式，解得k的范围即可．

（1）由题可设，，，

所以两式相减得，

.即，

所以，又，，所以，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线方程为，交椭圆于点，.

联立方程

，得，

，.

所以

=，

因为直线与圆相切，所以，

即，代入，得.

所以

因为，所以，

化简得，或（舍）.

所以或，

故k的取值范围为.