Question

【题目】已知n为给定的正整数，t为给定的实数，设(t＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.

（1）当n=8时.

①若t=1，求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值；

②若t=，求数列{an}中的最大值；

（2）若t=，当时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①128，②；（2）

【解析】

（1）①设f（x）=(1＋x)8=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，f（1）=28=a0＋a1＋a2＋…＋a8，f（-1）=0=a0-a1＋a2-…＋a8，a0＋a2＋a4＋a6＋a8= [f（1）+ f（-1）] ÷2即可得解；

②，通过不等式组即可得解；

（2）处理，利用二项式定理逆用即可得解.

（1）设f（x）=(t＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，

当n=8时.

①若t=1，f（x）=(1＋x)8=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，

f（1）=28=a0＋a1＋a2＋…＋a8，f（-1）=0=a0-a1＋a2-…＋a8，

a0＋a2＋a4＋a6＋a8= [f（1）+ f（-1）]÷2=128

②若t=，(＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，

所以，设第r项最大，则，

解得，所以

数列{an}中的最大值

（2）若t=，当时，求的值.

(＋x)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，

当时，

，

当n=1时也满足，所以.