练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．

    (Ⅰ)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

    (Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H．是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

    答案：
    解析：

    　　解析：(Ⅰ)如图1，设，，则由，

    　　可得，，所以，．①

    　　因为点在单位圆上运动，所以．②

    　　将①式代入②式即得所求曲线的方程为．

    　　因为，所以

    　　当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

    　　两焦点坐标分别为，；

    　　当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

    　　两焦点坐标分别为，．

    　　(Ⅱ)解法1：如图2、3，，设，，则，，

    　　直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得

    　　．

    　　依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得

    　　，即．

    　　因为点H在直线QN上，所以．

    　　于是，．

    　　而等价于，

    　　即，又，得，

    　　故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有．

    　　解法2：如图2、3，，设，，则，，

    　　因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得

    　　．③

    　　依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，

    　　故．于是由③式可得

    　　．④

    　　又，，三点共线，所以，即．

    　　于是由④式可得．

    　　而等价于，即，又，得，

    　　故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有．


    提示：

    本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质，并能熟练运用代数方法解决几何问题，对运算能力有较高要求．


    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
    （I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
    （Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

    （1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。

    （2）过原点斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，请说明理由。

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：高考真题 题型：解答题

    设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m＞0，且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
    （1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
    （2）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2012-2013学年广东省佛山市顺德区高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
    （I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
    （Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：2012年湖北省高考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
    （I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
    （Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案