Question

已知函数f(x)=

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3

x3-x2+ax-a(a∈R)
（1）当a=-3时，求函数f（x）的极值；
（2）求证：当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

Answer 1

分析：（1）由a=-3得到f（x）的解析式，求出导函数等于0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的极值；
（2）当a≥1时，可以得到f′（x）≥0在R上恒成立，进而得到函数递增，再根据零点判定定理即可得到证明．

解答：解：∵f(x)=

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3

x3-x2+ax-a(a∈R)
∴f′（x）=x²-2x+a；
（1）当a=-3时，f（x）=

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3

x³-x²-3x+3
故f'（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）；
所以：当x≥3或x≤-1时，f'（x）≥0，f（x）递增；
当-1＜x＜3时，f'（x）＜0，f（x）递减．
∴x=-1，f（x）有极大值f（-1）=

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；
当x=3时，f（x）有极小值f（3）=-6．
（2）∵f′（x）=x²-2x+a=（x-1）²+a-1；
当a≥1时，f′（x）≥0在R上恒成立，
∴f（x）在R上单调递增．
∵f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调区间和极值问题，求函数的单调区间实质是解不等式，导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．属中档题．