Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．
（3）求函数g（x）=xf（x）+4x在x∈[0，2]的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax2+bx﹣3，

∴f′（x）=2ax+b．

∵二次函数f（x）=ax2+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行，

∴ ，

解得a=1，b=﹣2．所以f（x）=x2﹣2x﹣3

（2）解：∵f（x）=x2﹣2x﹣3，

∴g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，

所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．

令g′（x）=0，得 ，x2=1．

x	（﹣∞， ）		（ ，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↑	极大值	↓	极小值0	↑

所以函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞， ），（1，+∞）．在x2=1有极小值为0．

在 有极大值

（3）解：∵g（0）=0，g（2）=2，

∴由（2）知：函数g（x）的最大值为2，最小值为0

【解析】（1）由f（x）=ax2+bx﹣3，知f′（x）=2ax+b．由二次函数f（x）=ax2+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行，知 ，由此能求出f（x）．（2）由f（x）=x2﹣2x﹣3，知g（x）=xf（x）+4x=x3﹣2x2+x，所以g′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1）．令g′（x）=0，得 ，x2=1．列表讨论能求出函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．（3）由g（0）=0，g（2）=2，结合（2）的结论，能求出函数g（x）的最大值和最小值．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．