Question

平面上有过点A（a，b）（a²＜b）且不与y轴平行的直线l，从直线l与抛物线y=x²的两个交点向x轴做垂线，垂足分别为B、C．
（1）若A为定点，求使点B、C间距离最小的直线l的斜率，并求此时B、C点的坐标；
（2）若点A变化，点B、C满足（1）中条件，求使△ABC为直角三角形的点A的轨迹．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线l：y-b=k（x-a），联立抛物线的方程y=x²，消去y，得x²-kx+ak-b=0，运用韦达定理，以及|BC|=
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

，代入配方即可求出最小值和B，C的坐标；
（2）由于a²＜b，所以不存在AB或AC垂直于x轴，的情况，则只能是A为直角顶点，即有

AB

⊥

AC

，则

AB

•

AC

=0，运用向量的数量积的坐标公式，化简配方即可得到A的轨迹，注意去掉x轴上的点．

解答： 解：（1）设直线l：y-b=k（x-a），联立抛物线的方程y=x²，
消去y，得x²-kx+ak-b=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则△=k²-4（ak-b）＞0，且x₁+x₂=k，x₁x₂=ak-b，
由于b＞a²，则△＞0显然成立，
则点B、C间距离|BC|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2-4(ak-b)

=

(k-2a)2+4b-4a2

，
故当k=2a时，点B、C间距离最小，且为2

b-a2

，
由x²-2ax+2a²-b=0，解得x₁=a-

b-a2

，x₂=a+

b-a2

．
即有B（a-

b-a2

，0），C（a+

b-a2

，0）；
（2）A（a，b），B（a-

b-a2

，0），C（a+

b-a2

，0），
由于a²＜b，所以不存在AB或AC垂直于x轴，的情况，则只能是A为直角顶点，
即有

AB

⊥

AC

，则

AB

•

AC

=0，
即有（-

b-a2

，-b）•（

b-a2

，-b）=0，
即有-（b-a²）+b²=0，
配方得，a²+（b-

1

2

）²=

1

4

（b≠0）
故使△ABC为直角三角形的点A的轨迹为圆a²+（b-

1

2

）²=

1

4

（原点除外）．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查联立直线方程和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查运用向量法解决直角问题，考查运算化简能力，属于中档题．