Question

【题目】对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=af1（x）+bf2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
（1）给出函数 ，h（x）是否为f1（x）， f2（x）的生成函数？并说明理由；
（2）设 ，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，求实数t的取值范围；
（3）设 ，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1 ， x2且x1+x2=1．试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数 ，

若h（x）是af1（x）+bf2（x）的生成函数，

则有：lgx= ，

由： ，解得： ，存在实数a，b满足题意．

∴h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．

（2）解：由题意， ，生成函数h（x）．

则h（x）=2f1（x）+f2（x）=

∴h（x）是定义域内的增函数．

若3h2（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，

即 ．

设S=log2x，则S∈[1，2]，

那么有：y=﹣3S2﹣2S，

其对称轴S= ．

∴﹣16≤y≤﹣5，

故得t＞﹣5．

（3）解：由题意，得h（x）=af1（x）+bf2（x）=ax ，

则h（x）=ax ≥2

∴ ，解得：a=2，b=8．

∴h（x）=2x+ ，（x＞0）

假设最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立，

令u=h（x1）h（x2）= =

∵x1+x2=1，

∴u= ，

令t=x1x2，则t=x1x2≤ ，即 ，

那么：u=4t ，在 上是单调递减，

∴u≥u（ ）=289．

故最大的常数m=289．

【解析】（1）根据新定义h（x）=af1（x）+bf2（x，判断即可．（2）根据新定义生成函数h（x），化简，讨论其单调性，利用换元法转化为二次函数问题求解最值，解决恒成立的问题．（3）根据新定义生成函数h（x），利用基本不等式与生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．求解出ab．假设最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立，带入化简，利用换元法与基本不等式判断其最大值是否存在即可求解．